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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 0@(1-Cw  
P R:.q\p  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. T^cIdYH2  
~mU ;y{9  
　　1、三角函数本质： q:d4fH$  
j)_o0-6m)  
　　三角函数的本质来源于定义 bg1O+2i  
p"L71h-]  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 i1CY%i K=  
J&n_+&2vi  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 =?oF+`0  
Obq^(I  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： ;y'2v0   
E QGUI  
　　推导： m)'{lzV}:  
fRALWoHq3  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 O eixJt  
[[(d:)  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) #|Icm}sA  
| UUH:  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) FIz*II  
? LFZDI7Z  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 <8E= kc+%  
BV!EZmV#  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） d\Pf U  
]mmb?T  
　　[1] xC1#gW\  
5Tr0.K"  
　　两角和公式 SZ_:,U@;  
c 9d@Z  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB wMEfh G}  
r%1.*o7@  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  wi,hs8[Ww  
~vk)c h[  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB l:G)RGp  
`C%qH#t  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB '2[QwI  
.em7-o  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) lQxX zqP  
~j#c B^  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) P\~r~x,qI~  
F}B) ;x  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  B=+_P  
ssPiV0!\  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) DlpLdi7  
%pq=.Z\Mn  
倍角公式 IH/#VmTp  
cs>,V ;j:  
　　Sin2A=2SinA•CosA b|7 Mg  
Vl]\jiqIp<  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 V_rzSNX`^  
*tq3;0=7I  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） Q$BRdN  
Ee-1\.+!>)  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） 0t6eJ`4  
lw $O\.   
三倍角公式 I|[b\ <t,  
pTw+Up]j(,  
　　 g#+n1o]  
A4|Z`s  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) 4S.jeR  
IcYF,a&U  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) }^aqxiWu|  
!.:4N*C  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) _;C<x{{fm  
]I 0a>(  
三倍角公式推导 Z$'&wm1u  
0*QGIv  
　　sin3a *x,C |  
@s,sqw&OQ  
　　=sin(2a+a) BH"hYAPW;  
(A39N#fe6  
　　=sin2acosa+cos2asina VG)ljG^u  
S_"L"H8VG  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina &6 a&n^_  
?jDas"[  
　　=3sina-4sin³a H8wlx'_mB  
74_4`zFal  
　　cos3a "`gB=M5>g  
/.M]H#  
　　=cos(2a+a) lF/c_L "  
l,U#S TD  
　　=cos2acosa-sin2asina 6u**^+n  
xGKsot.  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa X:!*~)D  
q[v?U0dT  
　　=4cos³a-3cosa J >1KUn  
KK>SU V  
　　sin3a=3sina-4sin³a kSR=I&U{L}  
71x70p<L I  
　　=4sina(3/4-sin²a) ?/0Zj 6m  
5*.\D5?na  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] - y#l(  
o2Pqz4a  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) ,^Lw Zs#  
+THyG) $  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) C9\Sy|g^  
lP=k&y  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] 'D8GAG9x=  
+=:/DCi   
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) HuI#i}\Noc  
4JBZ]jl  
　　cos3a=4cos³a-3cosa >0ZY $(8  
b"*i;[E5;k  
　　=4cosa(cos²a-3/4) _=e(27UM(  
wp;"ih  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] H Hjr]kq  
J9!gbj7)R(  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) n[iCn$  
5MP]~cq:~  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) LKr]!S  
!&)Z6~6  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} 6}A%pHh  
GCL\EB.g  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) 8Lo4G`  
Y ) )fgD  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] %e*D~p.&  
6<G8(D f  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] w2J?I -.  
?`}Z3Yto  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) %Sc_AV/]  
2d4ph^[/b  
　　上述两式相比可得 (:s5 i  
+c{8Mdu *  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) rDufY%VX  
H=ro=L9:{  
半角公式 D cG @ndu%  
@Sky[2#5  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); zgznPG{k)  
uCetq:=V[a  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. 00W?Y W~L  
0I(5(}"G)f  
和差化积 $gU>=G)  
VSD b3YjD  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] *a15VCj$  
/'ZR]-m!E  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] Y8ED;0pUL2  
1{ &m[;Dh  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] uTfzapk=c  
v sa 5  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] I40g;T;  
0&;\O u-  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) QZ(CG>g=GZ  
M B W=|E  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) FE+Hc84$c  
NAKci fK  
积化和差 Dfa5p!F_  
apBNn[/]  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] mxxN"b5:T  
bQOpH tl  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] tT;[+s `  
x({ %|n  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] LLL4qE?.4  
py_[e 8>  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] W-QCD r  
kpDJ|&BU  
诱导公式 Zt\{2[X6lI  
?1Do]~ iJ  
　　sin(-α) = -sinα LR34S#?OI  
Z'Z+. uE-  
　　cos(-α) = cosα ]^Y{8#mxf  
`KkK.:sz}E  
　　sin(π/2-α) = cosα t'Y} QS  
)AhSR2|"c  
　　cos(π/2-α) = sinα *!c\( Xxt  
[D3 lb>  
　　sin(π/2+α) = cosα c4VjjpFg  
x,N{e_i7O  
　　cos(π/2+α) = -sinα $8h%S3 X  
[WSV;R`  
　　sin(π-α) = sinα te97Gp36Y  
(NjkP~b  
　　cos(π-α) = -cosα 0)LFF q  
4#W_ipq  
　　sin(π+α) = -sinα n99f 6*Y+  
.6"cuty  
　　cos(π+α) = -cosα 6%d3_")Hk  
{ VS4:R*  
　　tanA= sinA/cosA cSt*,b'Zb  
|{ \6Um  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα f{3nvX I#+  
?0ys@UYMY  
　　tan（π/2－α）＝cotα t?HASS6~  
dD%YXp  
　　tan（π－α）＝－tanα V0P<k\S -:  
!<XVKM}  
　　tan（π＋α）＝tanα wZ=n4]1Ss8  
&f{oC5,  
万能公式 Q7O!cn28  
g('wRQ|_Vd  
　　 E-L&cWP Y  
~l)!QRN  
其它公式 ? 3.gk y  
Z7s,GUFI  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 3Wj6TRB7  
;g~EN!9Gk  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 \]G7dN\DNS  
% FJ9K  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 ^^ c,e  
9T '8K{|2  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 8ySTVh?q  
+py1M*z]#M  
　　对于任意非直角三角形,总有 3~?@.1}z  
W{RICz  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC v/MZ;=  
h]+$}?^Y*  
　　证: b KOB  
'O4 ?[|6?  
　　A+B=π-C 2\KdhyU4  
[ @3e_:Bp  
　　tan(A+B)=tan(π-C) <(2jFD  
cuq3Hz&a  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) U,k`x55r  
S0{^ (M:z  
　　整理可得 hm-8K  
q4p9)N|9s  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC E>5L5   
zmJ@{ n 6  
　　得证 -h>$Ngt8YW  
q=[X.C9D*  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 0_BeuP>  
aLi<gz:KR  
其他非重点三角函数 c%B4#EZ  
jF_%x"n)e  
　　csc(a) = 1/sin(a) DSq)   
M.+:|mo  
　　sec(a) = 1/cos(a) G`^|['B  
=?Efis  
　　 4p+eg3gl  
B5LpB  
双曲函数 -H^8xt.e*  
=^ @Nl7  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 !C-HdNQ  
>!\2Dm4UK  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 vT6fBr4,  
$E|S'4:4  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) e Lk0FYl  
'_mI}  
　　公式一： DX\C[B@  
VVI]+wAe:  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： x&XRUzb  
x/u *I  
　　sin（2kπ＋α）= sinα  ,?/K(H  
g2: 7<75  
　　cos（2kπ＋α）= cosα (zNWFH ?_  
0g=HJ{ :?  
　　tan（kπ＋α）= tanα MM_ Y%rm$  
(H&)f_3  
　　cot（kπ＋α）= cotα Ln~E'*  
CHap7AJ  
　　公式二： #+8aU!H  
g!z*%9(6  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： kEG\Q~i'  
(b-v'p  
　　sin（π＋α）= -sinα B c(;61F  
B[d)(D }Lk  
　　cos（π＋α）= -cosα :%9"5q  
&-,wV&(n  
　　tan（π＋α）= tanα ZU?[&f+[  
4&> f}\0  
　　cot（π＋α）= cotα zG8:il  
*:V8/g8B%,  
　　公式三： cx4ZWoOuIs  
@tU 7?`E  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： E6G!ylj`  
ke-')qR[  
　　sin（-α）= -sinα q1_A_/D5  
Nd`7I8  
　　cos（-α）= cosα 7hlQ<   
_<0j>+yx  
　　tan（-α）= -tanα #V$LF aBV^  
HQOD,,dT+  
　　cot（-α）= -cotα 9fI@Fas;R  
<D$BHd{  
　　公式四： *ZpNj l0T?  
I9HM <E_  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： VN!uDPx %c  
sz$-;TU;  
　　sin（π-α）= sinα yaQPI-@I  
Djo j6<rq  
　　cos（π-α）= -cosα >})(G%S,x  
j=!Lw@bp  
　　tan（π-α）= -tanα 46pS6\j  
d>m<  
　　cot（π-α）= -cotα C/C^I=O  
!kR$i^/S  
　　公式五： . '<{~,x  
qU (< G$  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： =>TXd-zT  
5EoQF>W#E  
　　sin（2π-α）= -sinα >BZS/  
,yIUaS8)K  
　　cos（2π-α）= cosα >tAJMn7  
-^gB2i=  
　　tan（2π-α）= -tanα ?Qn\ h$)  
; !p#d9R  
　　cot（2π-α）= -cotα Os`0hm@QA  
?a-m0*%yn  
　　公式六： >'xn9@p@  
t x%t~*  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： ; zQ}2.:  
8O5^hjP"b  
　　sin（π/2+α）= cosα .fHa)Fop8  
J]c|*7  
　　cos（π/2+α）= -sinα uy}6Qg'  
[*^E4  
　　tan（π/2+α）= -cotα F c% YZS;(  
eSe!M, =  
　　cot（π/2+α）= -tanα l1%ja.$B,  
Q8~y3VFi  
　　sin（π/2-α）= cosα m:[hgQ-X!  
q CKX  
　　cos（π/2-α）= sinα d,Y!`O\5I  
>5g/+f~  
　　tan（π/2-α）= cotα _WDv fw?  
X |0p]H?  
　　cot（π/2-α）= tanα 9jo-c?  
XCz.C~QN2  
　　sin（3π/2+α）= -cosα iGal|4I^  
W\})' F  
　　cos（3π/2+α）= sinα /8}^KC  
VDB*U!)0  
　　tan（3π/2+α）= -cotα x2q~d+r  
cF;mA|<  
　　cot（3π/2+α）= -tanα y0u|r<T  
}}7Q~k=S  
　　sin（3π/2-α）= -cosα \]u|M+ !(  
R:W&yD;  
　　cos（3π/2-α）= -sinα kI4>o;_[~  
0Pq K*d  
　　tan（3π/2-α）= cotα >MW;e6J3  
_!/d%bu  
　　cot（3π/2-α）= tanα o O"5j6  
:. H)(.z  
　　(以上k∈Z) fSmQPbu  
<Jq4V8#  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用  Nukk!#]  
EXR?L*79z  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = f O?E$M)]  
~L<QB'7H  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } pA 0.)  
5 x4  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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