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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 "VzICeub  
axsIsXS  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. LSj`D>.V{  
]%#sx i  
　　1、三角函数本质： cd&@   
Z!8k c)P  
　　三角函数的本质来源于定义 -df!QRF_  
$ }?d'  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 # x C``  
l5VyEX[n"  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 "R<g=Uu*+  
$w}{J4~  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： AwW\iq"  
.fx f:  
　　推导： FL?uA&Yq  
s$KY5 v  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 WlrU3d  
Vd9@bd":e  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) ^9JAh $`  
=L4XRF3l  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) ]kSr nX[  
LQJ>Kerl  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 ,FL9CDsl4  
ay2_M&;O ~  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） nm~!4{v  
J2T"v  
　　[1] r4VOPHg  
'3'X6w+gw  
　　两角和公式 j>y 0r  
zQBV;~  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB <49`99XE0  
Fv*rXd?d  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  4m;v@&'~  
?chI"LM  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB w:9rRd,u  
Kw#/VAh\  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB ozxRe'M mn  
!M^8hF}  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) R~@ *zB&  
P*AX+{.  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) f* GM|5lQ  
WOKb!`F,  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  4^I>mw(}  
[<[D6g=g  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) RR}"WH[&  
}g57=   
倍角公式 fgYM2 E1]  
-<vM3QPI  
　　Sin2A=2SinA•CosA bX6idCgfG.  
rC ;\f\w  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 RCRf[+_  
X.T}`  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） %^_c, 5  
G_XNuX u  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） :b K"]  
9{}~"io{  
三倍角公式 9qg^Ai.  
Gdl`#Q  
　　 2FPM0  
$cWL6if*+  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) 2bn*V  
B5S(1%  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) ^.y} Z }  
k &y/ o]ur  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) >6*ck~:m  
l]pAB+ &  
三倍角公式推导 p.OwNW5  
f[_88Vn$p  
　　sin3a =<AFh4v  
w )h-zR  
　　=sin(2a+a) \S]t8~-+  
| 7qi+p2  
　　=sin2acosa+cos2asina 5f5u{,fO:  
c?p;7t$N  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina <$*oV<ndp  
:DzvTcQ$  
　　=3sina-4sin³a s}vO&=  
J?+7 M-4n  
　　cos3a )gm+B,o)  
A`zXEPhp2  
　　=cos(2a+a) E]G^+'b  
o0AV6*c=  
　　=cos2acosa-sin2asina TL4|s"  
?+H'N9  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa Q\O..c1%  
0B_qj   
　　=4cos³a-3cosa 7%Fo[e&G  
B14+=LW  
　　sin3a=3sina-4sin³a 9sK <}]P  
S3;18Xb  
　　=4sina(3/4-sin²a) :((MRSdI  
B24b ]pq  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] N=' 0QA!  
XV74YNd  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) U)m!w2v  
OO%62[  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) i<3   
3uwU/!?#  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] wU_jiL&50a  
:VqN 4  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) sU}wJv5  
wjFyP;  
　　cos3a=4cos³a-3cosa |!bf:CJc3  
R-_&D8z1  
　　=4cosa(cos²a-3/4) 8*U@[,  
y*V?."*w  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] $ree.%II  
s =X#k7z  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) q<0EE:} Ey  
mW>@ +ru  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) _N? ?4  
G:MD*;V{  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} %AIOOE49  
N#2Z&8>t  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) uXuCh  
5 )ws3  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] \dv}u}\d  
q{OHC J  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] |?BQp2^sX  
!%*$k ^%QI  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) )`r%\D 9>9  
Rm\$Fay  
　　上述两式相比可得 eJ(_pZMn(  
R'80h>$!  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) 7!3-CJ  
iV3@yFg   
半角公式 r@R _+yB1&  
&cm!:`r  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); idw`}L`g  
h'Lf|f  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. ,rUpbp2   
! ;e(NI  
和差化积 xh?,*97  
`?C vaM  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] cdD]~F<M  
WFThh?c;D  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] ttZ`No/  
SMOUn"  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] ?^hYO  
M{?N),Z"  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] X! Q+a2W  
2gYwJ#`wV  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) rze~M2  
)2xC%8}{U  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) Q~yo;nTZ  
3k-kk|fMe  
积化和差 F5$b"m  
N&{q  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] 8^(b'+!e5  
~";iIH`}t  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] @=FQ*(N  
h?7_^U/(6  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] ch{Dj4 Da  
6N|!2'  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] MWUrh!R1  
j8nVgMMF!  
诱导公式 !^(4s>  
\[9y5jqj2  
　　sin(-α) = -sinα 4l:4$.[  
}<)DqW8h  
　　cos(-α) = cosα {h=>NjD  
m`'{OvY]  
　　sin(π/2-α) = cosα 'mvO1XBAw  
(pmwO 7  
　　cos(π/2-α) = sinα m 1:#r\  
7)kBEDG  
　　sin(π/2+α) = cosα Oc|mb /  
S][5$sRy  
　　cos(π/2+α) = -sinα &oC8;"#  
QS;f.=  
　　sin(π-α) = sinα a^#Y}8+=  
x'~7);C=  
　　cos(π-α) = -cosα @)flE y;)  
J_-y(,O  
　　sin(π+α) = -sinα tf%TH{qk"  
v4uC`4}?  
　　cos(π+α) = -cosα E$;Ts,>!  
Q# `gt  
　　tanA= sinA/cosA QH4p G  
:<<hKD  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα >rfL/sR  
{:9)Bc  
　　tan（π/2－α）＝cotα *_(~E "X  
&WO: -Q,W  
　　tan（π－α）＝－tanα "`lhW_J2x  
yQwRPor  
　　tan（π＋α）＝tanα Tr, W  
,KT,qGa  
万能公式 <AI&B[)Y  
x;ySo3_~  
　　 5 3s*=  
tZH; wUZ  
其它公式 AkmL'7 ;g  
i)&<CI  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 `v_/m> "/  
fx mhf  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 9[3#F;gy<n  
>VC4`lh  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 QF;S nI3%)  
jhKr`'z  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 3~W5+*S  
BBJ##,vN  
　　对于任意非直角三角形,总有 cP}="Y]-Q  
olZn.=)Q  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC fZBdtq  
Mw6&)J7  
　　证: z/;l!.t  
3*{"?!'+7}  
　　A+B=π-C 4&9aqGPN-a  
M(>e:\NX  
　　tan(A+B)=tan(π-C) jf5/xbFd  
|-9&JL92a  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) PG^<aZ  
n,n(sM#  
　　整理可得 =\}1u*  
>gT<] th  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC x+Npa!`S9  
pXf;}1/B  
　　得证 5}+-#/,]*  
a 1y/a xR  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 U&yZ \iP}k  
yF4=$j@d$  
其他非重点三角函数 q/7D!A`w  
oUjdU8Nf@c  
　　csc(a) = 1/sin(a) J TiN\L  
E> uHmnd  
　　sec(a) = 1/cos(a) tL0@{90  
v\$ W%T  
　　 k821/vy)`e  
nOV>F%s[  
双曲函数 Q,EVdx S  
8t8FE5vf  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 r$B&,!:+$:  
&iW Jtc c  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 `^#ph  
[c/|e  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) /Ez[Xk{a3  
W9k%1a5"  
　　公式一： lh)s 8w  
|^t"S$x  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： UPIx.qV3\=  
Tf`4%';)  
　　sin（2kπ＋α）= sinα bJA$Wvp$C  
E08)q!]  
　　cos（2kπ＋α）= cosα  hc\j4ZM  
a7)#6:@Zw  
　　tan（kπ＋α）= tanα G8K5Y~:  
uQ hxQ  
　　cot（kπ＋α）= cotα V](O ?!6  
p>wuzM|s  
　　公式二： ;-O(w9k.  
r(4#+PyAH  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： Y"[Q/c:v  
P U0`0(j  
　　sin（π＋α）= -sinα $y^ @  
#u83S?33  
　　cos（π＋α）= -cosα cL !|'&z%V  
>TvXI_e2"  
　　tan（π＋α）= tanα 8 ]l,y)  
X!_.&)8${  
　　cot（π＋α）= cotα />+3 i_w  
H6hMNO;  
　　公式三： Y.;(g2p?U  
PQEI<?+E;  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： .b``[F  
IW |% WHO  
　　sin（-α）= -sinα a .%ym  
v+V'F  
　　cos（-α）= cosα Y9ulk}  
%%4d6uI  
　　tan（-α）= -tanα A 7%&  
@wi__VUO~  
　　cot（-α）= -cotα D@)xMK \  
g-WxE2G  
　　公式四： jbvgkh=|aX  
L)#;Jdw  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： "~(~y_}r  
PQlUby-Y  
　　sin（π-α）= sinα _ e"ak8a%  
B:N|Rg:  
　　cos（π-α）= -cosα jmUAy`^po  
@5W<H  
　　tan（π-α）= -tanα 2+rNB\+z  
xp97@7?  
　　cot（π-α）= -cotα '4S;G w+,S  
K<q3nZ-D  
　　公式五： Da!Y~*1  
+r"FBIP_  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：  8j>;!Le$  
~.vk3?"T  
　　sin（2π-α）= -sinα ;eY1ac;rf  
'HB3=aG#  
　　cos（2π-α）= cosα !`XiwD c~B  
<0oHDT(  
　　tan（2π-α）= -tanα LBd%O-a$  
_=C%2 EKk  
　　cot（2π-α）= -cotα {jP(]  
[$L3Lt_Z  
　　公式六： -'};5 1B>  
A 6K%9"ck  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： n}yNs[zh  
m]DNw9  
　　sin（π/2+α）= cosα 6sTI3i {  
fi,^ PD-wO  
　　cos（π/2+α）= -sinα Sd?!Y+|  
jo?a .'@  
　　tan（π/2+α）= -cotα EHr?i={Z  
Vx.: d7F^  
　　cot（π/2+α）= -tanα ]T/hsV PS4  
gRngQWbCfY  
　　sin（π/2-α）= cosα iq5 46 {,  
+<pG Ch vX  
　　cos（π/2-α）= sinα z}-5mE!lm  
xw@[,a  
　　tan（π/2-α）= cotα g&&U*  
y3!j7ys-\^  
　　cot（π/2-α）= tanα evvy,#z  
g@ P @N|i  
　　sin（3π/2+α）= -cosα 7,~W'0)fj  
k0 'bw*)  
　　cos（3π/2+α）= sinα Y?c=[OO).  
,gE~;'}kl(  
　　tan（3π/2+α）= -cotα Up"=zm,h>  
7F=U2 -lz  
　　cot（3π/2+α）= -tanα c8eiNNjM;b  
3L6( %fV  
　　sin（3π/2-α）= -cosα <BQ9Z]  
K2 XUG.9MN  
　　cos（3π/2-α）= -sinα &2Xj[qh~t  
LUde\w  
　　tan（3π/2-α）= cotα {gFaF#Q`R3  
~{\Vfqsg  
　　cot（3π/2-α）= tanα /n23 mE&T  
|}EY"MF{  
　　(以上k∈Z) y}"Ub bmb  
iVkY*-sG0  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 03O&#QM  
g_/dnv-[  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = 5} ?%I!V  
03|F+*}Bt  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } ;;>$S;`  
:C\N;33  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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