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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 |fO*T^$  
x[N~t}Z<  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. mE[ K#P  
JD`!wI/E  
　　1、三角函数本质： rYVgn E_8  
K=2zoe0L  
　　三角函数的本质来源于定义 '~>4h7  
=-s*BI|l;  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。  $>Yov  
v1QFHtfN  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 &u_q'C  
6TjJ*$U  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： qc5+d  
dZ2~ zDh(x  
　　推导： B R yW#  
#[.Y~zO.ss  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 }x=V?3uM#6  
y)vk!Y  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) /5_]r:2#.  
SBcpA>K  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) OD}"vVlMY  
lwzVVcG  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 q1$?ouX.  
/ux &sFu  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） +JR>U); m  
DN!IV>/6[  
　　[1] qwRF](G  
.>( oFt  
　　两角和公式 S5^YNL1  
_!Z>Y/EN*  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 87n]u RK  
0Ub\edG7  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  S1Nz ?]  
`N-b92-<  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB !Iw'27F[-  
kCs46,~4  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB Cza_.*P;y  
jmFldY  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) w|^'J:'Q  
G*'uAN  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) y(?W  
ZyXx}c<},  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  =e!:eu>Z  
wWt{tLSk$  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) vN ,~v4sh?  
>bJz9_1\M>  
倍角公式 [ L=UUT  
7|\,QL!At  
　　Sin2A=2SinA•CosA (Az#.u,  
JU )<:0  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 RJ^d w=`(  
M<Ybt|r  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） u #z]@(]  
PS*"-O%V  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） '-oa3h`E  
S<M>U?s  
三倍角公式 G! ^x  
FwsR%u(s  
　　 m'`r},J'G  
=>mL"3[R  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) G,jO>|5  
iy 07Bb  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) "Xv-Ax<J  
xD1"!0S\  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 7LHs$a*o  
E=+w@Yx~S  
三倍角公式推导 AR Vd( hB  
{f3Q j( s  
　　sin3a hFo|3GLL  
 t z,7$W  
　　=sin(2a+a) 7gqb~LH  
U&0|w eo  
　　=sin2acosa+cos2asina f *=:!ztq  
X PS$t(A  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina *zTFNwx3  
J`WPa<wl!  
　　=3sina-4sin³a NtUqga)B~  
A%MF]1  
　　cos3a &?EM2` 8M  
SD%VrYOk  
　　=cos(2a+a) S_ iY7yp  
5>E_*8/  
　　=cos2acosa-sin2asina /14N!2F  
J~AFW  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa fbF}m4  
-D{[aR\]  
　　=4cos³a-3cosa 1nz Dri  
> NE~  
　　sin3a=3sina-4sin³a ?1??Z\c5p  
[qA_?2c}Z  
　　=4sina(3/4-sin²a) t< f&yr  
1%zu,+e  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] xst" J`  
!GFGMj[l  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) B=#,XSRe  
[ IPLS:0  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) gohNtvw\(  
%"xHo  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] LJ.#' '  
Imc;~2rTOF  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) Dm`-'}*[Tw  
ao2_F98x>  
　　cos3a=4cos³a-3cosa SF1N*z  
Pws !{qt  
　　=4cosa(cos²a-3/4) p ?v I6U"y  
E?I gIc=  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] FKLqd"^L  
-}K9<=JI  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) uw,m{?hbwv  
@<"E7z)%  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) Sc$U*)  
5 u\ me  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} OLoy:,p1g  
vSq@f.  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) ?DSV~lmxN  
t`M:PHk  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] OM0ynF`X  
iM-Z (P`  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] _@+\rH #nd  
RCjmJlx(y  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) x1q`X`:  
SY(@e g  
　　上述两式相比可得 gibYX@,NZ  
lc X><\Gt  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) j,>e2N  
$;Ef4A  
半角公式 Rn0s9/F,_  
 #"`gI =\  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); c&AV/aol]  
liDY$2>J  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. ~fG 2z&n  
LYsjIh96RI  
和差化积 v>^~a=b   
UaW/FOE)  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] iPU]_# )P  
%=d(xtM  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] irUs: hOd  
)%FVig k  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] s rQH9h/c  
M2c_&  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] d Z$Ijmx  
hE[]2Ac=P  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) %Nw.rjj  
3b_^T2Y(  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 'I+o} {  
hZ# >H-  
积化和差 ?q ;mK,Np#  
9Z&,sQJL  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] 8s~_]-u7f  
,oLJ[Yq  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] h#zDuX/7  
\ ._4M{CU  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] M<.fv=X  
/;zKKj%f  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] ZmUFE SV*  
]]MYI17(  
诱导公式 T^3<Kw  
4b9LP;8Ga  
　　sin(-α) = -sinα qPJ:pFfNtd  
=sTA(JN)  
　　cos(-α) = cosα 9.`" (`B  
dP~Ka.VJI  
　　sin(π/2-α) = cosα CJm8}S}  
OBS0m<cmdy  
　　cos(π/2-α) = sinα CU#(R6k(X_  
1Bl[st5m  
　　sin(π/2+α) = cosα P|agsw  
d ?b%-UQ*x  
　　cos(π/2+α) = -sinα !>K\-9X7  
H@W;N1  
　　sin(π-α) = sinα H+27"Wl  
g?4Pw3,MG  
　　cos(π-α) = -cosα {4h1>S5   
&%b<;O  
　　sin(π+α) = -sinα xOIymXS?4x  
r$4%f]@9  
　　cos(π+α) = -cosα 6 65W->PH  
I*C#|{b1  
　　tanA= sinA/cosA Bx;7  
Vh}rTlhuQ  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα n  85a7G  
EgzyaQ-|U  
　　tan（π/2－α）＝cotα (Y*cE\w y/  
Ea;(=Y!  
　　tan（π－α）＝－tanα d.,pw  
85'>Z_)+N]  
　　tan（π＋α）＝tanα qN,d5~Jxu  
h7 :G~E  
万能公式 Ak?I!IO  
Lxsk2   
　　 !UE[=8vssJ  
s[kTHUA 8  
其它公式 B$>{gU^^  
^:',`4y  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 *WSl[Ca7w  
n hWuN  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 thH&*@a  
Z(s"~? 1  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 @=0'- K P?  
!Ib4BQ1K P  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 p m0"|  
=YH:.$r7U  
　　对于任意非直角三角形,总有 < tKbGfT  
J :iF>\5  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC NdGB/~M.  
UMi5c@3(#T  
　　证: ^ip=Zg;  
'4J12) 3  
　　A+B=π-C EE%noW] ?  
G&W9u:O^6  
　　tan(A+B)=tan(π-C) a[4y!'x  
n/C>p~  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) 3d@+p"j  
?zk}P&3  
　　整理可得 O%srqiU-  
6d\D@V$jfF  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC C,<z3~%,,  
/an#] R@  
　　得证 w()}F H*  
rgjRT)x)t  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 '9nQ\S/  
NX&\Rt|a  
其他非重点三角函数 _O(&jr#=y  
.$ #q||  
　　csc(a) = 1/sin(a) ?+>7s !  
rk2Zj;+  
　　sec(a) = 1/cos(a) !\M nl/)0I  
\|5K,X5jy6  
　　 GKfO,D7V  
q \L$\/N  
双曲函数 "CCz~,0;  
N:*Z?ti  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 5Tc y3,F  
BAD kI=:  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 iRb!:Ti]  
6tZ-~}b7o  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) Rq$:ZiJ}  
4>#P1C  
　　公式一： C5nGz  
AO1Ct}  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： H~=1/<Q5:  
YmqI"k+q  
　　sin（2kπ＋α）= sinα j1XXc1[iF  
-l8 &CP"$  
　　cos（2kπ＋α）= cosα QaF<t)ECT  
B@e|^zy<  
　　tan（kπ＋α）= tanα zo^f0]  
0mktx iT  
　　cot（kπ＋α）= cotα []wi\"|!  
e??H$^w6  
　　公式二： <mDB$Q >  
e;[*HMUe  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： i9'a^fM  
M-,nK8vL  
　　sin（π＋α）= -sinα @ st.'  
@sv6Qds{  
　　cos（π＋α）= -cosα N0/ VN?  
|6$R.uRsEy  
　　tan（π＋α）= tanα cL%Ga 9T`  
:B4s{Pi#P.  
　　cot（π＋α）= cotα H}rhmaVW@j  
5lI3 "  
　　公式三： Wq#}a31  
wIXC.bX^R  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： #J(ZyB@U6t  
!;>\w[3Jz<  
　　sin（-α）= -sinα uO2C!\@'  
}|9)l[ ^  
　　cos（-α）= cosα J:asp~${u  
|u;'0y  
　　tan（-α）= -tanα NB>L\R_  
_)V<<r5'  
　　cot（-α）= -cotα OKKJ,2  
fYl/~PiLo  
　　公式四： x@>wZ1 R  
$B[\)-qm  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： e?r1]=Eu  
U2HC{{l+z  
　　sin（π-α）= sinα Sk41O3%O)/  
<U\+, nxb  
　　cos（π-α）= -cosα *<^".%I  
kQ5I_Oi6  
　　tan（π-α）= -tanα P:mF@[j  
r'v'@^B  
　　cot（π-α）= -cotα mf|\v  
>`2}O)I  
　　公式五： Udn3I| P  
:+OF\(h^~n  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： [2OR|{-l  
K&06#Lc(  
　　sin（2π-α）= -sinα L0Hdvc2Ouh  
U_U,#QR  
　　cos（2π-α）= cosα y> {Xtd  
)@1 qcy  
　　tan（2π-α）= -tanα 78p)?  
[AH{{< #f*  
　　cot（2π-α）= -cotα = > 1^;?  
Dyq;h4  
　　公式六： 0KRj@p~.  
<{\dj\&  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： b>.qA,iT9j  
YUITh R  
　　sin（π/2+α）= cosα C^%zOY{  
>37-m t  
　　cos（π/2+α）= -sinα , k/o6fO  
*UD<&$.  
　　tan（π/2+α）= -cotα sde'h  
*.44owM  
　　cot（π/2+α）= -tanα **/t U~l{  
I1m>=  
　　sin（π/2-α）= cosα h@KvIxg1  
6@QGgd[l  
　　cos（π/2-α）= sinα \V%ibfI  
[9V;!3?  
　　tan（π/2-α）= cotα #Rcg!So8X  
~-wPf|N_G@  
　　cot（π/2-α）= tanα i|Y>iR_p2  
40'V ss  
　　sin（3π/2+α）= -cosα 8>qL=  
Z?{9rH e  
　　cos（3π/2+α）= sinα K5F*2)4q  
gy>Djc be  
　　tan（3π/2+α）= -cotα .XTqN~|r  
`;FDi2zp  
　　cot（3π/2+α）= -tanα [7Y&i!u  
z!<Ywl}  
　　sin（3π/2-α）= -cosα G5Zcd,NC<C  
!&XA$@.Z&  
　　cos（3π/2-α）= -sinα sn  oz7N  
(9Hf#5F  
　　tan（3π/2-α）= cotα lSU7M2ut  
gYP2gXA@@p  
　　cot（3π/2-α）= tanα m_jPSAP0R  
/csiqx1TW  
　　(以上k∈Z) OHWj1iv  
ad3N umr  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 <L. ^   
&'| Nj}/j  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = ?3W`qX63!  
IRybb)1k  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } xR R9G WdQ  
B|R} sW  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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