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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 b3+LY#{  
G_'Wz!p%  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. &qs9=*F#)  
/lf9O!  
　　1、三角函数本质： nOyu"tL? E  
rG>F>VsS  
　　三角函数的本质来源于定义 C @g0*#@}  
jkRD>  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 20]0oZHl>O  
iE`i  |d  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 :@hM8-K  
O By=@G  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： +TZ~+ r*  
mC:!Vu(:  
　　推导： #Bd]DBIX  
-)- >-~]  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 LSU.MXRK  
z:_MM9*  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) SNz\Fh/<0  
RHZ]v-c:nJ  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0)  NW,*/l  
9.r-7I*  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 a dE+w  
a8 S4B*  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） vcL&Td4c  
*C;"8)SRP  
　　[1] kos9kPJc  
d@/52Di  
　　两角和公式 wDO+]^2  
H)9^C  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 5=,zA@Ifx  
 YxSnj|  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  )~1@}pp=  
5f,ki,JD  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB D\iQnKI=R  
5O@`ZZI:  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB f^>_:DcO  
m(9[VUD@  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) e6r1n49I  
Ay2ga  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) 0;SX:ra5  
F<>^XVy/  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  p6)bkTY  
j@D~"v`  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) m YrUF]i  
]/YLHy/  
倍角公式 h}1) |x  
V)m8DTF  
　　Sin2A=2SinA•CosA ql%km8m1@  
xY)<^  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 |bP` 4naO]  
yz;qS(   
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） tGT^W+F[  
qMcS-   
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） mM]&A\0SZ  
lmqyeO<~&  
三倍角公式 y=D|cG3  
zRw$(q=#  
　　 *spgU0b/f  
)S&}\l2  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) -t*dQ9wi  
s51V H4  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) E.,}gsSml  
Yry&FC1<3  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) \vZ-jJD8l  
X#{z6;$  
三倍角公式推导 wKc12dI<  
+ 5%y5^ZA  
　　sin3a $h4cwCiP z  
Gth}Gx5h  
　　=sin(2a+a) IidlE.!Gs  
*;b~G@  
　　=sin2acosa+cos2asina 7a`5X^*NRu  
!^]o^)#_  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina Q!)aFlz]  
?;Z AO.f}h  
　　=3sina-4sin³a x{0}83@E  
h'6K'V{H%  
　　cos3a 0~, P`Vv  
8M _yEC  
　　=cos(2a+a) }$ |30 c  
AT[o w'Z  
　　=cos2acosa-sin2asina m_?xQgf  
$/o#{X u  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa IOm*8IjC_  
Rvi'A(*\.  
　　=4cos³a-3cosa cW\Sf7=  
r<xOh\m  
　　sin3a=3sina-4sin³a wZMdhe  
"P|F*O  
　　=4sina(3/4-sin²a) )? 2rMb  
. ]R /d  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] >N(d 7  
IudMC "  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) cvsDI~al5  
Fr_U+<Y  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) [sD&4JA?*G  
~${Wv&7p  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] #-iLNi*5$t  
+S4h@~  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) 1ka )t(  
Oa AVA_u0\  
　　cos3a=4cos³a-3cosa z k#4Tfy  
Y|Bw034z&  
　　=4cosa(cos²a-3/4) ~s8cGQ   
<4=$14EGTc  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] t6 &/!p|+  
7B;KN1J7  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) 7BS?!  
@v)Z{OAsj  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) #cDKaOX  
*de'29PFE  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} UFcai+)Kd  
g}vJUow  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) @s ~D3~q  
#X> !g  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] {bK vvxt   
c=rw1-[^  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] ln\_ 9,f  
}oS{0_8  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) A=:Iv8P  
=x%ipq   
　　上述两式相比可得 ]e5}D^GE7  
lf/ 8>?b  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) TT(i_XC  
iK,rN Ag  
半角公式 $ *[&|K  
|Qty0Z&  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); /8|7-T85mo  
Okyn $B  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. %x;P%]:a  
P\uD{ Tk  
和差化积 ]hp'W pN  
,Qu+b\  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] W\-|R l  
}U wLjCP7P  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] `Q  
{enAwZDT  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] :6P_ :t  
COYlg%n  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] Dw~||us  
~O!+Xn  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) *4k%L6=  
OS?. rs'  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) Tb0Hx).i  
uO~qJiD(7  
积化和差 [ 5;K2C  
X:0@?  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] x Ph[E  
Y(LXGz.!  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] *Ez<4JwV  
{?2"2~A  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] a}wL,nN]  
M$q"3eHF  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] hT (+ l<6e  
31#!T%dJ  
诱导公式 R 0j).'%  
@8ZQ8VO_v  
　　sin(-α) = -sinα [>{T3" x  
* FA>.W  
　　cos(-α) = cosα |l ?v0y  
wzJ/  
　　sin(π/2-α) = cosα ,F>gi2j^  
gtn.Q6EY  
　　cos(π/2-α) = sinα P am [9z  
[~Wjjh W  
　　sin(π/2+α) = cosα D=LB]1:&.!  
(&@E RZn  
　　cos(π/2+α) = -sinα |}sCc0;wr  
f+Ct9U=#  
　　sin(π-α) = sinα W%PGNNK  
_U,b7l+`b  
　　cos(π-α) = -cosα waPi  
wf'}<M*nF  
　　sin(π+α) = -sinα i4h("XDyL  
C!abU7N  
　　cos(π+α) = -cosα j|mtvI4  
IAHCS  
　　tanA= sinA/cosA ?xVu-dgqg  
p+}=w#ld`u  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα U AHVde#  
^x=kZ"*x5  
　　tan（π/2－α）＝cotα o1* `|yQ  
Yo5 Oql8.  
　　tan（π－α）＝－tanα :P>4Oh&1&8  
J)#cRp/el  
　　tan（π＋α）＝tanα XA|T[\a29  
;g`avh  
万能公式 Q1]>Nh76$  
&Xo9'  
　　 x -"p?W Y  
?)G7,Er2r  
其它公式 $,(Z+={  
E4JH{/YXI  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 S1]+Jo[7  
zPUp"af)  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 _2_jwZrv>  
,]_r&k"O*  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 3MhX t=p  
gO&e< OT7{  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 N>a (RL4  
A|1D ]#Y  
　　对于任意非直角三角形,总有 vj~]U[  
by;V  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC zl!Gm#>(!  
kG.J2A.5  
　　证: XHRNVUW8  
U>H_d7  
　　A+B=π-C n'dji*S6  
M''wC}c{^  
　　tan(A+B)=tan(π-C) k&8"mU:  
 a h,  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) F\Kl$h  
y"_m7h 4ln  
　　整理可得 RKfesUO<=t  
7 O"MV] <  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC :}rmHEL  
RdLB_6nQ  
　　得证 LjM\M\G  
b~\K_g b  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 ("R/s  
7Y-dz  
其他非重点三角函数 )X6R:N,'p  
9e/AS 3=W  
　　csc(a) = 1/sin(a) ~#uiv@*  
aSd`" rc  
　　sec(a) = 1/cos(a) ]V%C!y_'  
|OdL bb  
　　 JvO9 CQ>]  
d^\G`s[  
双曲函数 (sU8<>   
;Bfs\!g  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 _<>"i,pC\  
T6>`VR?X<  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 ChTP]Q %  
x0rVF  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) q&F1HSy#  
OEN3 d; H  
　　公式一： /#Z2 ;8r+  
6T _rL  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： 0(-?^u)S%  
yrT"QV\'/  
　　sin（2kπ＋α）= sinα )hoR|hdN6  
>h/0y'yZ  
　　cos（2kπ＋α）= cosα }n9[r=W\'  
Y]#{*KVNb  
　　tan（kπ＋α）= tanα mWknV#Ha  
pGNk("8@  
　　cot（kπ＋α）= cotα \"W57!x9 9  
U) ~;R6c@  
　　公式二： >S7<aN}  
; X*O9#5S  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： 8}:|@Ok w  
:bcvb+A  
　　sin（π＋α）= -sinα {p_{ B WhM  
oYeb6omf>k  
　　cos（π＋α）= -cosα TIJYm}AFJ  
e)8.`D[  
　　tan（π＋α）= tanα tP\tk8u g  
m3[L*{[3  
　　cot（π＋α）= cotα 7?0F/]i?_  
Az(77'}#U  
　　公式三： PN-U '  
>> OM6@L&`  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： g+r _Y:j  
GCayt0\cBY  
　　sin（-α）= -sinα l U4XH  
D#{f2&IV  
　　cos（-α）= cosα 5" DJ{h]z;  
eWEONG?  
　　tan（-α）= -tanα !>ooi-OE  
7G ^C'o%N  
　　cot（-α）= -cotα @PLx@Fz0  
L/00A  
　　公式四： on !uRc*  
2I|Od,1  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： ,n6.;,>  
#Pzr l  
　　sin（π-α）= sinα {5&:c|  
Y|)=PO??{  
　　cos（π-α）= -cosα ~H2 ^'G  
+iLs)el$  
　　tan（π-α）= -tanα s(X[.b8 ~<  
44^D-*_{*  
　　cot（π-α）= -cotα D1L '5J]  
]FuQ57  
　　公式五： olc&{0G  
@?,DO%)  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： vV* gzp  
?H5 d"AX  
　　sin（2π-α）= -sinα 8;yWuV  
I08]K#] )  
　　cos（2π-α）= cosα " NL<KQ]  
o/0btt:  
　　tan（2π-α）= -tanα #A{x"\0N  
'8DwV)W+C  
　　cot（2π-α）= -cotα nQ[ZCgQI  
?t<F.R\Bn\  
　　公式六： C|_u0sjJ  
:FfN hD  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： !m<.vqA  
n[ I(.Q[zB  
　　sin（π/2+α）= cosα \ocRt$'hM  
 jfd{{*-  
　　cos（π/2+α）= -sinα "I4'W#'l  
=7y=M@"  
　　tan（π/2+α）= -cotα V^D=&-J  
~h]/N0ln  
　　cot（π/2+α）= -tanα iR|Gfy  
R~|-VE5 {  
　　sin（π/2-α）= cosα ukRG.Q1  
LofC~`i  
　　cos（π/2-α）= sinα p0y?]  
0<$Wr=K  
　　tan（π/2-α）= cotα yaE%`q [m  
);kXv*_t  
　　cot（π/2-α）= tanα ^Ek6Q2*[qQ  
:#\&X(5  
　　sin（3π/2+α）= -cosα I=X6Z4_4  
@EX '~##Sl  
　　cos（3π/2+α）= sinα %205o r96c  
SO>~JFr S  
　　tan（3π/2+α）= -cotα 7Z94G^  
z7f^cP'-S  
　　cot（3π/2+α）= -tanα o69+S{\k  
aC F j_X  
　　sin（3π/2-α）= -cosα `$tH_>CZ  
k6qYQ.Wx  
　　cos（3π/2-α）= -sinα !)Xl${0$  
ddh52:j  
　　tan（3π/2-α）= cotα :tpE]J;  
#wO rO`S_  
　　cot（3π/2-α）= tanα G Cg}zHe  
R"pKk:a3Y  
　　(以上k∈Z) Y|.\#lJ@  
bI:1<ePj>  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 []]"8AZ  
4j;AQ2xM  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = Z<"!y}$WB  
"##=Ov5  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } o{{7r!8n  
I00LR  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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