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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 _gk0K]s  
:rOMdUqN@#  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. k`mz=Ki~6  
ECWFai  
　　1、三角函数本质： Gs;h~  
I 4ou!lBb  
　　三角函数的本质来源于定义 ja*PF#Za  
-g r4  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 l=1"=;*(_  
"cWh[.z  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 /"gD]1B  
,bYJ[$R  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： GB`fM<w  
RI=vg~zq  
　　推导： Z)nI_ld  
[wwSV f(  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 z->j5au&  
a8x,{O}7(  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) V4;oy53n#L  
2:3 ^:V6P  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) rxomdv=  
`'8N QE#  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 oW[U0'bO  
5`+j5e  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） 7m y:. Ux  
h ?2GQD\A  
　　[1] 3OCPVp%  
Mq!.E>j  
　　两角和公式 G6]iqMA  
l:Aa\Og  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB .#oT#C  
"#"AQB  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  ru2)j u2 2  
>tB3w*C  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB k2v0%X2  
{"@cim"  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB P qA<H&kD  
4D,/^4|  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) 6A ?m'1W  
ZAzM @E  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) / [<2bM  
h$,4W8) {  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  {2V^:dip`  
(oqj@/$  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) SSNK%qW_CJ  
]H-gJE3+  
倍角公式 EJReuo$f  
E~cjZ,  
　　Sin2A=2SinA•CosA "LH!`C[p  
bO.q+> -  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 ihLL-`  
#="1nIweHA  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） .`GR%;RPc  
_vXcAt4v;  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） $ >RQQs<8^  
]9BGFjBa1  
三倍角公式 &} l ^>j  
 9wT 4p  
　　 (cLHLW{~  
H3#a$G  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) l`OiPhQg(-  
N5u9QD  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) {[k721ft  
Gr#9J<UC"F  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) . xuJg$Tv  
't!~s~ha9  
三倍角公式推导 50bq?\>mX  
@D5>!Q  
　　sin3a xB#{ Kl.  
oiD+Gg2Sh  
　　=sin(2a+a) |nT)s-$  
ED4MR%  
　　=sin2acosa+cos2asina *g/wR#y"z  
?@T@/8)W  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina <)?{2g  
xDd7Uo\jH  
　　=3sina-4sin³a dKHTMQ5\/  
I'"?^Ly&  
　　cos3a 1y pQUbQr  
^@:28Lc-w  
　　=cos(2a+a) diVvN~Vm  
\.Y{GldT  
　　=cos2acosa-sin2asina G1j~Z  
S9:Df5-@  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa No ,1<*  
Udh sl4_  
　　=4cos³a-3cosa ,u"oG8|  
"Yj|%P  
　　sin3a=3sina-4sin³a bkw}5r t  
?&H&-l=H#  
　　=4sina(3/4-sin²a) v$W ^04&)I  
jn*~ \j+  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] R!(PLfVq  
NKHt;  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) %JW32I:s  
o;S==jt  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) Gru-E'T  
dGJ=CFf0  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] q5)jRue  
Q*Ym7fk"I  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) yB+%oUNa(  
K%[4&+-C  
　　cos3a=4cos³a-3cosa u0nIr4m  
86m0W$]  
　　=4cosa(cos²a-3/4) fZ_`k t  
Q$I?]<\6j  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] dk?LnZtL,  
D^9";@ ,  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) %P|7 b  
DX<o0 A  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) (b%dV.S43  
;jhjz`otal  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]}  |wiR  
~rc(`9/Y  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) 0R pz7":9  
t<#_ <_s  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] X0QP2SXY  
*N {^Bmr  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] ,1a+mkPUh  
`{[ ?Bbl  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) B"PPGem  
X\b$$p_  
　　上述两式相比可得 6ddOA&|L  
,$sK""n0  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) {O2"Q!xi  
7tuXqI  
半角公式 <G#/,M  
X?<RtX(  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); MUam1{8  
u*y yS))  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. yPw9sM:~  
d&xb@=[  
和差化积 k8lyYn=  
0xln/.  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] /sBI:WE  
B3o#qZRj!p  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] Eu>p,wK  
>|W4'o ip  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 6]~{` -p1  
<F|Jr-{O  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] F5qWO(B'  
S3&jrz'M  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)  F AU  
ec&oT8a  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 1BkHkuJ  
.dO4!^  
积化和差 u{^sFk/  
HO4kk+[  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] #_%V{Iy  
h9EhV'DFlT  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] b C7V,,  
"w 9+}M  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] tKZD/9rT  
m{vCq[+  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] i?~s#1UQ  
bqQj2?>  
诱导公式 +u&4<~  
OV,4#v2  
　　sin(-α) = -sinα ag$yB(-7  
>$A:YAlN  
　　cos(-α) = cosα m/ }h%If  
MH+Elq7X(  
　　sin(π/2-α) = cosα o`/A]kR  
_aTw "  
　　cos(π/2-α) = sinα j`5,6r.'  
W(lE!9+S)  
　　sin(π/2+α) = cosα a#M-h3  
Bj.@u_ G  
　　cos(π/2+α) = -sinα CF*N!}])c  
r DO SH  
　　sin(π-α) = sinα pSw zLI|,  
c6%Q(gHm]  
　　cos(π-α) = -cosα .3(=KqcPuk  
Lu"@uPS'8  
　　sin(π+α) = -sinα rS3Ay/w4$  
Zy<d)Jl\\  
　　cos(π+α) = -cosα ^RO948xM  
rrlXn?.1  
　　tanA= sinA/cosA H o]KA:  
7JY ,Di^  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα $+_z~`\p  
>hhG6:q  
　　tan（π/2－α）＝cotα F"V>1$~p  
0=3w^r8  
　　tan（π－α）＝－tanα Nz>{Jj/|T  
u;rx"vf\E1  
　　tan（π＋α）＝tanα BCNakf/y  
Z=L 5F ?  
万能公式 vNsy9A9)  
LvGuETksC  
　　 <1'p,bin  
dBXf%bgQ  
其它公式 01 UD@_v  
&SCkn\  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 plE $}Y%V/  
4RL'ire  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 tYpm' w  
xu"Z4v)I  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 ;M=~$Xz5  
r/d$) w;}6  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 c>`HSd-Q,  
89grxRe  
　　对于任意非直角三角形,总有 vP+Jc{L:<  
V`?-H~z!  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC b|<( 9p;  
}1_{(1:Co  
　　证: sy_xM4:t  
 nWyMFn+  
　　A+B=π-C (<Q=5}=*  
=~>[f!3jX  
　　tan(A+B)=tan(π-C) LoTB ]()SA  
cb<BmwBT  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) "&w u~s+  
e)W%=>{   
　　整理可得 +] +FYW|  
>O/x!%gHot  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC $BTSXaG  
j%C8 X<3  
　　得证 ,S~9| ?(\  
kkCjap3D  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 x Ok<Jr  
>HPUui:  
其他非重点三角函数 `&8U>$3  
aX6 k*eP  
　　csc(a) = 1/sin(a) ?&JpBv3..  
K'xD= XQ/  
　　sec(a) = 1/cos(a) >+VGY+!  
\bw:(&m  
　　 [}yT~,b  
Duh^7&/W=  
双曲函数 GNnZ4kNX  
=Lr.73c2jT  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 >3T @qXx  
%L+6wtQ/I  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 Xg/-',<~z  
jZ0_TxL  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) <+8p|&`  
Xt9ABIb  
　　公式一： !l01I:R^  
TuVO|}I~XG  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： ,BPQ6>auM  
w)U0_EW   
　　sin（2kπ＋α）= sinα taGiI(Jg  
0k1FEy  
　　cos（2kπ＋α）= cosα U']UF  
D}P<n4j  
　　tan（kπ＋α）= tanα 0v|4px  
p# >^ >  
　　cot（kπ＋α）= cotα K\tBr$k  
Ig_`^1~V  
　　公式二： 2&KNQAm  
uB#lY@34  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： L@w#*R$X  
kgcl @3  
　　sin（π＋α）= -sinα 1jy&xyt!u  
[P2CR@-  
　　cos（π＋α）= -cosα J& YxXO  
)vr) !  
　　tan（π＋α）= tanα rdo<,X A  
xq;YDgFN  
　　cot（π＋α）= cotα e(eH SV  
C2"SPh#?  
　　公式三： jX?z{:TXk  
0>K F Qm  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： 3Ck f:   
mve14M I  
　　sin（-α）= -sinα w=4@o7oY  
&H(A4 n\  
　　cos（-α）= cosα @ "   
Bd`M"OWE  
　　tan（-α）= -tanα tDd$sn4>  
j]Jv FmD>  
　　cot（-α）= -cotα Fk1q1n  
'l0(`q [  
　　公式四： cU1\X(  
K0M{f2  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： P,TB5S(Za_  
T*Dg1~c5  
　　sin（π-α）= sinα  k{?j'T  
yEL$HqE7;  
　　cos（π-α）= -cosα {}Y&.d<^  
n\f&1"q  
　　tan（π-α）= -tanα >? AIy7  
ORQb@C}>5  
　　cot（π-α）= -cotα <'Jo#s0{U  
Q`XrR\;  
　　公式五： c<2*Mu  
'.oLnX@Y  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： x3JN-!0{  
FIO U`L  
　　sin（2π-α）= -sinα D:N.F/HU  
#nK%D}:r  
　　cos（2π-α）= cosα 4S! Zh(6U  
@%hdX"b  
　　tan（2π-α）= -tanα eCMX<.[  
>NwCu_  
　　cot（2π-α）= -cotα _oz->b8E:  
gN#uWz@W\  
　　公式六： >dov+rH&=  
|%8Xdc  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： U gJDK8.  
9nW1?4  
　　sin（π/2+α）= cosα 9.;i_j6  
$?I1sRpXl  
　　cos（π/2+α）= -sinα \&'oPF .  
fY\ "k9Ev  
　　tan（π/2+α）= -cotα FqWlBw53  
y<F$ ~u'd  
　　cot（π/2+α）= -tanα _8-I80s  
M /L)9[%  
　　sin（π/2-α）= cosα w1p"j|`  
=cZ.6%cA  
　　cos（π/2-α）= sinα 51h =6F>  
)dPGF\1m  
　　tan（π/2-α）= cotα 3$1xAZ'  
Ox|oL  
　　cot（π/2-α）= tanα .U3?=5  
clTwb .dQ  
　　sin（3π/2+α）= -cosα )ES=Y rG^  
5EVe0grp  
　　cos（3π/2+α）= sinα C+G#St  
d3:[x&;  
　　tan（3π/2+α）= -cotα U |UN6[  
Fl0!V&>)W  
　　cot（3π/2+α）= -tanα }C"O )>Q+  
NU3s$6CT  
　　sin（3π/2-α）= -cosα " DQw}vq[  
+c,a\{~, [  
　　cos（3π/2-α）= -sinα s\3 !4*  
q@PI&BX  
　　tan（3π/2-α）= cotα -oGu+Oh  
Rsd;@6]  
　　cot（3π/2-α）= tanα y~|/TT+aQ  
J04bSkmM  
　　(以上k∈Z) "8xYZ k/  
'Dv9g &(  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 G39+NkZg  
~wL G7]-O  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = R dGMqo}  
4dsQj:  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } f[R * U   
Zg$t- ,  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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