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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 b`~u4?{!It  
GcJ_hbg/  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. 9t 9szK;  
sp48#^  
　　1、三角函数本质： "|DvTJk|  
X (xWS;s  
　　三角函数的本质来源于定义 O3q2u&)U]  
4Q+FXLuCm  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 ,d0{5 pN7  
%D&L:|)g  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 b@uIPo[  
T>b;%=< cQ  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： gQ#1&7_oO  
Mp0wu@K  
　　推导： elV: -7O  
P' 9y\4  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 tl#\6` HV  
]8N<3ePF  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) 'K/] L J  
+eiMG+ u  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) [|b+nAZtl%  
3xl}%Wrg'  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 siqfRt%  
eS.B0]kpd  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） DJh >u  
;o3\x6 \b  
　　[1] ,<F*nc  
F& BBBUT]  
　　两角和公式 Q3Wl3*  
[75S.cW]C  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB T:#Wbr<3  
/XvOu@I_2  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  >w2I=Ti  
&/M2i*3$A  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB P<W"1Nz#i  
ZDir@[W  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB G$t6k@qCf  
9ghr8NN  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) V2;pt7  
Wg=cv'7@  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) [?MD^,Z;Y  
][YE~/9]  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  /G-jD%=sK  
3W` z\dS  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) < 6cA^  
.NwYgu]N  
倍角公式 i qp&s{Hs  
NAHS T:.  
　　Sin2A=2SinA•CosA S29&w[nJ  
 r|<%>,~  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 NZ[-LCGf  
A+^en*  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） ^-T<N>'c  
>>5U"Jf[  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） ^'Amc',-x  
*upLX\`  
三倍角公式 1R:w%FM8i  
gn!_If'OEj  
　　 !OV e+M  
\jhpu :4H  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) KKm2>@tX  
,s 45`"l  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) R'8_ Syb  
*juv3J,f`O  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) Gg/hw2"v!  
naSyc  
三倍角公式推导 80!4iDg&  
v _O=3  
　　sin3a p?y05o =  
X2s;.>T(m  
　　=sin(2a+a) V11rM` #  
 *?4/GuI  
　　=sin2acosa+cos2asina OjbiPeeR\  
4 '`Q s  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina Q%O\Fib?i  
%uBevQxoI  
　　=3sina-4sin³a M\q_>Q~  
:KazpG|  
　　cos3a Cd64] Fb  
3'j)MDQX  
　　=cos(2a+a) b6xN#lrwAg  
jk<mnm!  
　　=cos2acosa-sin2asina D@=;&  
:fF #j^  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa K]3U}Y5  
?]rT=j  
　　=4cos³a-3cosa A~o;rsA  
BDvhS<  
　　sin3a=3sina-4sin³a h0%qN^/Y  
cus@Xd7oN  
　　=4sina(3/4-sin²a) ,B5VZV58  
{+f?<L$  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] ZQ[ 'Ox  
`<Larl06e  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) LHl5C4x4!  
-:~D?]eBg  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) lAC<?U"&  
-((QZ}B  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] <Q.~ &FU  
t|B2ayS"\>  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) 4lE6B  
$DPtumc   
　　cos3a=4cos³a-3cosa 3YMooW7l s  
l4/DC%S>-  
　　=4cosa(cos²a-3/4) X$cd9$t  
a/TSd4_,(  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] N~iyx[jN  
~ ;|AsE3e  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) ByT3]B!  
DQJ}L H5$  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) O94iN=  
CJ?<MDgTe  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} _G5]eds5  
+FJW&  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) 5nIyZ  
)R-,17!kY.  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] .|9w  
[(>9--@%Z  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] r5@ZkiP  
U?L ,2|  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) SQM qN,7  
vc =H46  
　　上述两式相比可得 L9#B8  
N\1I+YI:  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) e08G5*=VQ  
RfB^eV2  
半角公式 4?V(< t  
vU-'cR=  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); u3 jEYnxS  
0WBh_SLy  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. KJU C@\  
B5Gl7bW0D  
和差化积 s1) oXQ  
GxS%YM  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] Y5`Z1vX  
3FeD.(d  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 1]Ny2^q  
n%0/YQ1  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 7@l$2bY  
+2Fzf=' >  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] `Mn3 =;jQ  
Yvs2=p)}L  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) nkyuqv tzz  
'yq\Y0(&  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 'qFPu<^.~  
Z&-*S< YB  
积化和差 $|JBhNKT  
&}L 7sp  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] 7ex @`A  
6dRT@MXG  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] ?> [&+L  
LZ!>Y\$  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] ],y317~`  
5-'* H"&  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] &*O0fC8  
 Ue@?Z  
诱导公式 #O]i/ Op@>  
CD/LJr3ey  
　　sin(-α) = -sinα 0JdYSSbw  
`<D@  
　　cos(-α) = cosα ixWf? 5BMK  
s[sY"ivJ  
　　sin(π/2-α) = cosα ;i_  'F  
6 eZ Q "  
　　cos(π/2-α) = sinα l$n).  
iaAkD!V  
　　sin(π/2+α) = cosα iJ<tG+ i[  
Ww1k}@h3`  
　　cos(π/2+α) = -sinα 6/W!/YD?  
pz"I4 N^  
　　sin(π-α) = sinα yAYe(;G)  
x/%]RI  
　　cos(π-α) = -cosα nxZ, EPHN  
LUAs2|Tj  
　　sin(π+α) = -sinα io \)\'0+  
TE-fC]T  
　　cos(π+α) = -cosα m }O*KE;  
O7.FNA;[  
　　tanA= sinA/cosA f=fb~j5  
J0={'M50  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα A%Vi<W#x  
yo=\RD{9  
　　tan（π/2－α）＝cotα *X$_(:'L|  
.A6^O1K2{  
　　tan（π－α）＝－tanα @jJ!428j/  
\p@ 3L+  
　　tan（π＋α）＝tanα l{c |rX;L  
Pn ob j_  
万能公式 5%?,=  
kP \vY>@  
　　 `ZLDoa{  
CG0 <=I   
其它公式 yaleEnC%W  
XDu!Q? -#  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 )PO$-  
i2;e&   
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 55wfrGj  
y, ?^3T09o  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 .q4hzn2  
Chf7V:bLZ  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 Jlt<G Ai89  
}73DPeh3  
　　对于任意非直角三角形,总有 f{BHDq-&  
 J&gLT  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC &n3'i]!Rf$  
@6@1N]u>r  
　　证: 0 V!b%=N$  
8\A Ed_1-  
　　A+B=π-C -qkxb%cs'  
z=nS,szZ  
　　tan(A+B)=tan(π-C) <krLx)5  
,?d}jIk  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) \v5DC7Z   
Seg"`c_is  
　　整理可得 IP_Ae+M^B  
Bb} r3xlh  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC R&G\=6t  
HO>b< _Lp  
　　得证 J(R' g} u  
FJ'K9Q`  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 US"K$gf8Z+  
M | o5?m  
其他非重点三角函数 ~YR<k v+  
}YiJo,"I  
　　csc(a) = 1/sin(a) A5FD*3J  
I/~`*uew3e  
　　sec(a) = 1/cos(a) R*VJ^"Vr[  
tA3/i-t@`  
　　 g`[LK\G]  
;E?>V zx'  
双曲函数 mk~Wm9Q.B/  
$P8ztX/  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 6Z{(hoxD|w  
e pR.  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 "^[e*_{IC  
+=>Arbq1  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) l.L9T `f1  
]UJ;.8x  
　　公式一： F <:yHM  
f{n2to  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： qG!T^ .  
:rIO,Y M  
　　sin（2kπ＋α）= sinα r*TX\t  
K9I.  
　　cos（2kπ＋α）= cosα / OiT/G  
)'<vf4qo  
　　tan（kπ＋α）= tanα ubt<{R\J  
Wnn7| fa0  
　　cot（kπ＋α）= cotα )*9o`M*  
K"p~h:Z'g  
　　公式二： iMDt ij(n  
Tb=7Y8  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： 7Y [ GMf  
,L3C<gsE  
　　sin（π＋α）= -sinα U^4@pi  
:*DmAeY)  
　　cos（π＋α）= -cosα >-N EH  
Q6bJ6 v  
　　tan（π＋α）= tanα !(9cqX=-  
Cb6woo,O  
　　cot（π＋α）= cotα m]9WH):  
,w,Qml.  
　　公式三： u_ 9d:-_)  
Z bIA :Zz  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： 6Ximb'  
\q;chlA  
　　sin（-α）= -sinα V|3a!Qsj!  
fiL:   
　　cos（-α）= cosα s0u ^X1P  
Kn%;x  
　　tan（-α）= -tanα c0CjWOCYu  
G-PflCaY4E  
　　cot（-α）= -cotα {'1lkp2!{  
T@ R!,|  
　　公式四： j"} f>Qt  
Q??F6.Z  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： Fo/NA<x7B  
M7*/d7'7}D  
　　sin（π-α）= sinα QDNa/ [R<  
X, YaP4  
　　cos（π-α）= -cosα iRI$F/05!  
zzW,rCJ37  
　　tan（π-α）= -tanα X.T~ me 0  
VJ{Low^<  
　　cot（π-α）= -cotα |4m{d@ {vS  
]59-X l$u+  
　　公式五： 6\[T#  
w/Y34%$B  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： u^=:PmFW  
J.LI;Tgz@  
　　sin（2π-α）= -sinα d %qKt  
-bls2[f  
　　cos（2π-α）= cosα njUUrb_dk  
#rOfHEvee  
　　tan（2π-α）= -tanα ^X/l24ZM  
k #zj;\F4F  
　　cot（2π-α）= -cotα R-4#O>>4"  
|<c.lyKF`  
　　公式六： T O%gb(s  
64 <?%@  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： w*8O[K  
0zi E)a!  
　　sin（π/2+α）= cosα G:ngTR=!  
Wxrrys?<  
　　cos（π/2+α）= -sinα ;st.|db J  
35f[rf6j;  
　　tan（π/2+α）= -cotα kYu>+Da  
8TT gv: aL  
　　cot（π/2+α）= -tanα };icQK\  
r 2fUYU}-~  
　　sin（π/2-α）= cosα *Ibr|kv|\  
37@|}?5  
　　cos（π/2-α）= sinα A2f|>h;U  
KsDl<x# s>  
　　tan（π/2-α）= cotα bUetR|*0  
i?ME=*al  
　　cot（π/2-α）= tanα 2R+tr>gTL  
x#De7Hp~#  
　　sin（3π/2+α）= -cosα ?6K|;)u  
;8%`B_%0{  
　　cos（3π/2+α）= sinα O1WI` ^  
kJ~~(1c:  
　　tan（3π/2+α）= -cotα ho,H{>J+ZL  
w~j*t  
　　cot（3π/2+α）= -tanα 2\63%l|  
6!~pYu  
　　sin（3π/2-α）= -cosα W.]B G6  
 Ts^ w%  
　　cos（3π/2-α）= -sinα X9gb1Zz  
'qf: 2KvK  
　　tan（3π/2-α）= cotα }>s$j=6Q  
6" z<bs\"  
　　cot（3π/2-α）= tanα dP>o9f,@U"  
`(dl|gK $L  
　　(以上k∈Z) A!JASWN6  
jD|=jUSD  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 ysow2`w2  
 ;RFFH  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = qe}6b}3Pu  
r:$P0\%  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } b S hjV%4  
S$mP\$\PQ  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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