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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 &3gAYBNa  
Bi"2Wh!|  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. WA^`@W!  
[w$ni-e  
　　1、三角函数本质： (y00 (% w  
WmT.x,0%  
　　三角函数的本质来源于定义 q@E/OapLbl  
y| RoM4Wc  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 6 1\@I!<  
*{Y, KN_9  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 qjV^h,Oac  
^}e)W},R  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： QMII:Lve  
lIS0_h0  
　　推导： 2<"/':oz  
jNf8 e`  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 oAr8L#S  
J7uUlR+w|  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) 966kF+  
]zt1gW@g  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) ;T4FLks7  
?g9;zZ(k  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 FpD7)65gx  
:&X\|LuyK  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） $f 3'PnS  
HO>U?Z5  
　　[1] QRQSvr  
DEg^nN[.[  
　　两角和公式 .:hI{vp;8  
}AE|[QMX$  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB RlEbu:M  
vV,-N)  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  Z,#px 8tc  
UUfVPL]O1r  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB /kmM@'r&  
|H\(s8:0  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB ;*3^,)V9O'  
I5VY/WW  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) ? {jj_tt/  
H_/l3H^  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) y"zTRK\@_  
e|Jme,>A  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  ;xr K=W  
tpEc(  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) mug_ JOLv  
D>.<\*eH{  
倍角公式 r^I.5,@  
D+vd 2:J h  
　　Sin2A=2SinA•CosA l|M_4E  
~u^V!c|U  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 =&Q}^=r<  
'{H^OC  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） LA7Qzl_rlo  
F?F.d~V  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） E.{zx<C=vZ  
%?$e>(g7s  
三倍角公式 )V]F[g]S=l  
O Acl&X  
　　 m&hEF;8N  
1aL\zUG  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) Y JwE1:p=  
hMY8M x  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) eK+ <@'I  
vU1qMpB{+  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) J\x^@m.3  
y#eYtwr7  
三倍角公式推导 = >b/vo  
iLK%:WUZ  
　　sin3a k wqt.   
pD=")&E  
　　=sin(2a+a) afk&M?  
[c7#:H l  
　　=sin2acosa+cos2asina _Pt48"G$-  
@%]ZvK$.  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina 9LRP6i"5  
I s3:  
　　=3sina-4sin³a a2cK*/4"  
tD {*Z_  
　　cos3a ~[<bM ="}  
D&OO\C~QWy  
　　=cos(2a+a) @?M }8x+  
c'-eY~  
　　=cos2acosa-sin2asina z:~8Ptahd  
0e<`< h%  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa zZR QW   
=sbiD g  
　　=4cos³a-3cosa jA)z G+  
X@l/`w-\1y  
　　sin3a=3sina-4sin³a 8a#X/"@?as  
7&Bje tte;  
　　=4sina(3/4-sin²a) Bu%:54}+  
jOj{GoT  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] rMBY~K,x2  
ykgCK=C~  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) 7-;Bp E]35  
@r'$7sc  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) aO t!C~{NZ  
zQ!4 l  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] 5%=aiN.,=  
9<~9f 7~  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) cjBa[$'  
6n!s{ ^wy  
　　cos3a=4cos³a-3cosa /tJ1\E/oV  
d0F<V8  
　　=4cosa(cos²a-3/4) H f:2d=+  
8'8kR(er  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] M+eQfIk}  
*?Upx}zTN2  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) $R:3 rO  
 @!nVoz\  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) $'3ll BG  
O2_FW10&]  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} HbOUrrAm'  
|o+djkH?}  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) yFH0>m#;f}  
s>g bP_"  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] \I7!]b,-F  
T<4 e5{  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] Z D` f@  
+7*^!  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) U"#x/h::  
:x@F,k'Q  
　　上述两式相比可得 9wc)z72  
~:Zr <:PN  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) *.<det"V  
^u{ax6V!  
半角公式 w9AHPw{(  
=//9ri-X  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); sguJ' ..  
-A2W}b7i  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. x[y#eDi^  
ZLoZaZ~!n  
和差化积  %p93  
OBgx0M6  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] iyydGnqo#  
}"7c  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] `["$]z 7e  
4u9 |U$  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] oT;;`V\ap  
or++a o77  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] ~?:L  
Gwa j  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) HVJ'5JB  
x:6#|@|  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) P ' #*c  
A12 uQg  
积化和差 bxmE_:?t  
Roac *  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] I#b8|fI&[  
}lG)TB7OH  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] r<%pH[#  
qLJ []0w3  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] XcS]oy!_/  
r(~9h'6~0  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] NZy| Dl]  
rhW Jd88  
诱导公式 `Ef:usf  
V(Ub>p   
　　sin(-α) = -sinα #N%)>  
o Vre  
　　cos(-α) = cosα @top y0  
/eBEJ[}+  
　　sin(π/2-α) = cosα 'zhC8c)  
zavC@"  
　　cos(π/2-α) = sinα MG'?KC8mf  
A.=g1>#]  
　　sin(π/2+α) = cosα SuBcW 4G }  
ZM8ntX  
　　cos(π/2+α) = -sinα F/X0y5K  
\ WbmZba  
　　sin(π-α) = sinα nF=$x(8;  
791Uj1 3T*  
　　cos(π-α) = -cosα Gzk?9StMf  
l>ue6b(@  
　　sin(π+α) = -sinα mT>  
(odO|Cg  
　　cos(π+α) = -cosα 95t'=9b f  
.{yP^%  
　　tanA= sinA/cosA nS1AK5;E];  
AU`1$} L  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα ct  Vr?  
ak! h6!\i  
　　tan（π/2－α）＝cotα m2XR,xALl  
$G0%8A`/  
　　tan（π－α）＝－tanα L\k />M{  
r-Ol $^Wr*  
　　tan（π＋α）＝tanα Z4e:C\ A  
RC/[>ea   
万能公式 TH'+! Qe  
92oZ$y@B  
　　 ~/ E 5Vg  
M@}'eUB  
其它公式 _3RbOGt  
Y:`gKxe  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 ?H6o \R,.S  
DH.JvuG&  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 51f$F2"sM  
~@0Ko`  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 4zoxOYI  
~!aNHp(~.  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 Uycd6Ov  
[wj[AF  
　　对于任意非直角三角形,总有 qjb_=Q6  
a7z4)0)}k  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC $P\]A&e\  
9scAU! B{  
　　证: 'B'v 5qSI  
S>V"|SY+  
　　A+B=π-C X}NG{3!rz%  
N:dn#Wu  
　　tan(A+B)=tan(π-C) m>>gQbm7a  
W25R[V=  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) Ne (bo$  
Q*]@JA->  
　　整理可得 _(IH?$B  
3m#,Cj*  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC xF2p\_{[i  
<G<iu%4  
　　得证 =T)Lng  
}f.Yy[_]m  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 ^v1{J*/)  
H@C8- a  
其他非重点三角函数 dP==*Y ]Hu  
h!y \O4  
　　csc(a) = 1/sin(a) =PPO{5oe  
]`r6&|&dP  
　　sec(a) = 1/cos(a) g~L_/ChP  
l) /1DC  
　　 :Ole.w#X  
'#PAS5'  
双曲函数 (Fb " VP5  
7]x+/TG p  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 Ai.d{{  
exD Ue?  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 '=;98  
,u=`jad a  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) UAtvsX"=-  
w,)W&V\  
　　公式一： <G\ =ww2w  
IN )0;l  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： HR=4#^}  
Lk.Ess ,  
　　sin（2kπ＋α）= sinα g H^ pb  
uh, `m  
　　cos（2kπ＋α）= cosα 5wiII<^q  
QQE-Vs tma  
　　tan（kπ＋α）= tanα *Mh%OK%  
d(42kj>l  
　　cot（kπ＋α）= cotα !n,MzN O  
@XQ1DXF^  
　　公式二： ,7ID9O3,5X  
>4&G_@3O[V  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： w&a N\0 /f  
# /=_.@y n  
　　sin（π＋α）= -sinα f~y{Er  
TS1n:k  
　　cos（π＋α）= -cosα MP(b]nm#$  
GBiSpBB}g  
　　tan（π＋α）= tanα jwt ="  
_(_`6{qg  
　　cot（π＋α）= cotα FN&vu,0  
+$BNM\ xi  
　　公式三： $%8&Cs1p  
|}Nf?W{  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： ^l7b@nE(  
2jS&qMiAVj  
　　sin（-α）= -sinα EnX0>K^  
2K ' $Xw  
　　cos（-α）= cosα "@(B[xBn  
{ ;<L '  
　　tan（-α）= -tanα ` .&~">V  
"_"*uZn|b  
　　cot（-α）= -cotα XVvz7 R  
T>%9J  
　　公式四： ;L5 AMmXd~  
v J!<b  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： ZmmsazX  
A#W#`h  
　　sin（π-α）= sinα AyPe^g  
76^z.  
　　cos（π-α）= -cosα c5b4/  
:W?;Id  
　　tan（π-α）= -tanα \1-hUl_  
`)xyqO-  
　　cot（π-α）= -cotα K/$+te <>(  
fj"]<<  
　　公式五： {PjM!x 0(T  
[wsh/ o   
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： /,n6,NR  
61+l[1  
　　sin（2π-α）= -sinα s\ ;/  
pLD1b,VM  
　　cos（2π-α）= cosα /_M]cf!  
}1qf %D  
　　tan（2π-α）= -tanα x~T)EY  
A4 K[|ip\  
　　cot（2π-α）= -cotα j"LkT-t}  
]J9aA'HE  
　　公式六： c [lq&o  
H{<'I03  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： w (xruS7  
e2 [P?#fI  
　　sin（π/2+α）= cosα GAUGN/  
d07PV|"%;V  
　　cos（π/2+α）= -sinα w"WPq0=0  
*L%XoeHd  
　　tan（π/2+α）= -cotα a#bw[=gC  
VW]AFSc Sn  
　　cot（π/2+α）= -tanα H kH4H#s  
( b}mbDH  
　　sin（π/2-α）= cosα y *rq\Qe  
7l- b_1  
　　cos（π/2-α）= sinα I+{ JI6O{V  
k=9K24c,G  
　　tan（π/2-α）= cotα $'`5/MH  
Wo-LAY$c~  
　　cot（π/2-α）= tanα exO]i_Y$  
!5KtNKA  
　　sin（3π/2+α）= -cosα &S6vkY?  
BBy3l W3)  
　　cos（3π/2+α）= sinα VmN\ gSI^  
|fGP/\  
　　tan（3π/2+α）= -cotα 1!ApS}wF  
um@Qz*n=  
　　cot（3π/2+α）= -tanα a(4a`~IvA  
6{e;;5,  
　　sin（3π/2-α）= -cosα >+[pG1,?"  
VhPkm7d%0  
　　cos（3π/2-α）= -sinα 2MpWrb>YE  
u'14%o0I!  
　　tan（3π/2-α）= cotα W${nj6j  
{?,}zMP  
　　cot（3π/2-α）= tanα e Ie]JZ  
JQcl<zgMw"  
　　(以上k∈Z) jT(,Epx~0J  
u7!b8ShVwF  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 9]M1288z  
stqW\vUa  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = A2psUvvw  
!Iq=TL/)vD  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } %HW1!51\  
6Q Ra!%Bm  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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